Kurt Gödel Kimdir? Eksiklik Teoremi neyi ifade etmektedir?
Eksiklik kuramı ile ün salan ve ödüleri ile kendini çoktan ispat etmiş olan matematik felsefecisi Kurt Gödel, 71 yıllık yaşamına pek çok çalışma sığdırmıştır. En çok bilinen teoremlerinden birisi, ‘eksiklik teoremidir’. Matematikte, doğruluğu ispatlanmış sistemler veya önermelerden bile yola çıktığınızda sistem içinde ispatlanmayan ama doğru olan önermeler içerecektir. Bunu matematikte eksiklik olduğu şeklinde yorumlayan ilk insan Kurt Gödel’dir.
Kurt Gödel’in Hayatı
1906 yılında doğan bilim insanı Gödel, 18 yaşında Viyana Üniversitesi’ne girmeyi başardı. Her zaman üniversite seviyesinde bir matematiğe hakim olması, bu üniversiteyi girişinde çok yardımcı oldu. Teorik fizik alanında eğitim almaya başlayan Gödel, matematik ve felsefe derslerine de katılmaya başlayınca ilgisinin değiştiğini farketti. David Hilbert ile birlikte Bologna’da katıldığı ve konusu ‘eksiklik’ olan bir seminer, hayatını tam anlamıyla değiştirdi.23 yaşında doktora tezini tamamladığında, henüz sadece birinci dereceden kalkülüs önermelerinin eksikliğini ispat edebilmişti.
Gödel Numaralandırması İle Başlayan Süreç
Eksiklik teoremi ile birlikte başlayan yolculuk bir süre sonra Gödel numaralandırması fikri ile devam etti. Teoreme göre tam sayı aritmetiği içeren karmaşık bir sistemde, sistemde var olan aksiyomlardan yola çıkılmalıdır. Yola çıkıldığında doğruluğu veya yanlış olduğu kanıtlanamayan önermeler bulunur. Bunun çözümü için Gödel numaralandırılması kullanılabilir mi? Bu meşhur teorem 1931 yılında ispatlandığında matematiğin dünya üzerindeki seyri değişti.
Kurt Gödel ve Eksiklik Teoremi
Gödel ile özdeşleşen bir başka teorem ise eksiklik teoremidir. Hilbert tarafından çalışmalarına başlanan bir fikir vardı. Buna göre matematikte var olan tüm ispatların sabit bir yöntem ile elde edilebileceği düşünülüyordu. Aksiyomatik bir sistem aracılığı ile elde edilebilecek olduğunu düşündüğünden bu yönde çalışmalarını sürdürdü. Hilbert’in modern hali olan Kurt Gödel ise bunun tam tersini yani eksikliği ispatlayabileceğini biliyordu.
Eksikliğin Özü
‘Önerme ispatlanamaz’ ifadesini aritmetik şekilde formüllere döken Gödel aynısını ispatlanabilir için de yaptı. Daha sonra her iki seçenek için doğruluk hesaplamaları yaptığında bunu başardığını gördü. Öyleyse bu işte bir eksiklik yok muydu?
Eksiklik Teoreminin Anlattıkları
Elde ettiği ispatlardan sonra öğesel aritmetik barındıran aksiyomların tutarlı olması durumunda eksiklikten söz edilemez. Öğesel artitmetik içeren aksiyomların bir sistem tutarlılığını kendi içinde ispatlamaya çalışmak mümkün olmayacaktır. Bu sayede eksiklik teoremini de ispatlamış oldu.
